用“三步法”解“牛吃草”相关类问题——奥数知识

如果我们遇到的问题是“一堆草可供20头牛吃3天，这堆草可供15头牛吃几天？”，这很简单，就是天。如果把“一堆草”换为“一片均匀生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在均匀生长，草的数量在不断变化。这类总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。其实“牛吃草”问题还包括排队问题、漏水问题、电梯问题等，下面分别讲解。

　　例题一：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问可供25头牛吃几天？

　　【解析】这类题难就难在草的数量每天都均匀生长，即草的数量是变化的。我们解题进应该从变化当中找到不变的量。由题目可知草的总量可分为牧场上原有草量和新生长草量两部分，而牧场上原有草量是不变的，每天新生长草量也是不变的（因为是均匀生成），下面就设法计算出这两个不变量。

　　设1头牛1天吃草1份（这种设法很关键）。根据“这片牧草可供10头牛吃20天”，可得10头牛20天吃草200份，草被吃完；同理，15头牛10天吃草150份，草被吃完。二者相差200-150=50份，就是20-10=10天新生长出来的草的份数。这就说明10天长了50份草，也就是说每天长50÷10=5份。由此可得牧场上原有草量是：

　　10×20-5×20=100份（也可以这样算：15×10-5×10=100份）

　　现在已经求出每天长草量（5份）和原有草量（100份），可设可供25头牛吃天，则，解得天。

　　【总结】求解如上问题可分为三步：①根据两种不同情况的吃草总量差和吃草天数差计算出每天长草量；②根据已知两种情况，任选其一，计算出原有草量；③列一方程求解即可。

　　例题二：有一块牧场，牧草每天均匀生长，这片牧场可供10头牛吃20天，15头牛吃10天；则它可供多少头牛吃4天？

　　【解析】还是设每1头牛每1天吃草量为1份。第一步先求得每天长草量为份；第二步求得原有草量为：；第三步列方程：设可供头牛吃4天，则，解得头。

　　例题三：某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

　　【解析】本题是等候检票的人数在均匀变化，旅客相当于“草”，检票口相当于“牛”，可以用“牛吃草”问题来求解。旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。

　　设1个检票口1分钟检票的人数为1人。

　　第一步，先求出每分钟新来旅客多少人。因为4个检票口30分钟通过4×30=120人，5个检票口20分钟通过5×20=100人，这说明在30-20=10分钟内，新来旅客4×30-5×20=120-100=20人，所以每分钟新来旅客（4×30-5×20）÷（30-20）=20÷10=2人。

　　第二步，求原有旅客人数。4×30-30×2=60人（即30分钟检票通过的人数（120）减去30分钟新来的人数（60））。

　　第三步，列方程。设同时打开7个检票口，那么需分钟，则，解得分钟。

　　例题四：一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？

　　【解析】虽然表面上没有“牛吃草”，但因为水的总量在均匀变化，“水”相当于“草”，“进水管进水”相当于“新长出的草”，“出水管排水”相当于“牛在吃草”，所以也是牛吃草问题，解法自然也与上面例题类似。

　　第一步，求出每分钟的进水量。设一个进水管每分钟进水1单位，则每分钟的进水量为：单位。

　　第二步，再求未打开出水管之前原有水量。单位。

　　第三步，设经过分钟放水单位，则，解得分钟。

　　自我练习：

　　练习一：自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？（150级）

　　练习二：某超市10点开门，但开门前早有人等待，以第一个人来时起，每分钟来的顾客数相同，如果开3个入口，9分钟后就没有人等待了，如果开5个入口，5分钟就没有人等待了，那么第一个顾客是什么时间来的？（9:15）

　　练习三：有一个水池，池底有一个打开的出水口。用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？( )
　　A.25 B.30 C.40 D.45
　　【答案】D。
　　解析：出水口每小时漏水为(8×15-5×20)÷（20-15)=4份水，原来有水8×15+4×15=180份，故需要180÷4=45小时漏完。

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