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教学内容  人教版初中三年制几何第二册“读一读”黄金分割。

    教学目标

    1．使学生理解并掌握黄金分割的概念；

    2．能够运用黄金分割原理解释和解决相关的实际问题；

    3. 通过学生动手、动脑、动口以及利用转化、类比的方法去探索，培养学生的观察力、交往协作能力，动手能力、归纳概括能力、创新能力；

    4．通过黄金分割原理的运用，对学生进行学科学、用科学的思想教育，培养学生对美的理解、感受、认识，陶冶其情操。

    教学重点  黄金分割原理的理解及其运用。

    教学难点  黄金分割概念的形成及其灵活运用。

    教具与媒体　某些植物实体，标准的人体模型(或图画)，四个黄金矩形片，五角星图案，投影仪及投影胶片。

    课前要求学生完成以下四个实习作业。

    1、剪4个分别是8×5，13×8，21×13，34× 21的矩形片，并计算其宽与长的比(实习作业一)；

    2．用在几何中学过的画五角星的方法，画一个任意大小的五角星并算出每边被分成的较长线段与这边的比(实习作业二)；

    3．通过美术教师，帮助收集标准人体模型(或图画)，如古希腊维纳斯女神塑像、太阳神阿波罗像，并计算出其腿长(肚脐以下)与身高的比(实习作业三)；

    4．利用双休日，走进大自然，观察植物叶子在它的茎上的排列顺序，量出上下两层中相邻的两片叶子(平移在同一个平面上后)所成角的度数a，并计算出a与(360°—a)的比(实习作业四)。

    教学过程

1．复习回顾。

（1）线段的比，比例线段，比例中项；

（2）相似三角形的判定及性质。

    2．引入——问题情境。

    同学们课前动手做了四个实习作业，现在请大家分组讨论交流，互相比较一下各自所得的结果。

在进行了热烈的交流比较之后，教师把结果投影展出(图1)。

EP:EC≈0.618

EP:EC≈0.618

EP:EC≈0.618

EP:EC≈0.618

图1

教师以实物为背景指出，在实习作业三中，标准人体和古希腊维纳斯女神塑像．太阳神阿波罗像，其腿长与身高之比也约为0.618；在实习作业四中，同学们从植物茎的顶端向下看，细心观察，可以发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角，这时町算出137.5°：(360°—137.5°) ≈618。植物学家经过计算表明，这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。

  3．黄金分割概念。

  通过对四个实习作业结果比较，可以发现一个共同的结论，那就是不论是求长度的比，还是角度的比，其比值都约为0.618。

这一来自于实际生活中不同背景之下的比值0．618，是偶然的巧合呢，还是客观世界反映出来的规律?如何去把握这些规律?(这一问题更激发了学生学习的热情和强烈的求知欲望)

由于问题涉及了线段的比，因此我们可以从线段的比，比例线段等已知知识来进行探索。

问题1  如图2， = ≈0.618

问：线段AC、CB、AB有何关系?(这一问题由学生分组讨论，在教师指导下，通过类比、转化，推理门—算得到结论)

AC²=AB·BC。

    也即线段AC是线段AB和线段BC的比例中项。象这样，把线段AB分成两条线段AC和BC(AC，BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点c叫做线段AB的黄金分割点，当AB=1时，AC≈0.618.人们珍惜地称它为黄金数(板书课题：黄金分割).

    4．黄金分割原理的应用.

    (1)介绍线段黄金分割点的作法.

    问题2  已知线段AB，求作点C，使C把线段黄金分割．

    作法  1．过点片作BD⊥AB，使BD＝ AB：

    2．连结AD，在AD上截取DE＝DB；

    3．在AB上截取AC=AE，则AC²⁼AB·BC．(如图3，证明由学生自己完成，教师予以引导)

图3

    思考  线段AB的黄金分割点有几个?

    (2)黄金矩形的性质．

    问题3  宽与长的比近似为0．618的矩形叫做黄金矩形.

    在黄金矩形内作一正方形，则所得的矩形仍为黄金矩形(投影).

    如图4，已知在矩形ABCD中， =0.618，ABFE置是正方形，求证矩形CDEF是黄金矩形。

图4

证明：由题意，得 = =

由 ＝0.618，得 ＝ =0.618

由 =0.618，即矩形CDEF是黄金矩形。

问题4  证明顶角为36°的等腰三角形，其底角平分线将腰黄金分割(这种等腰三角形称为黄金三角形)。

证明　　如图5，在等腰三角形ABC中，∠BAC=72°，∠B=36°，AD是∠BAC的平分线，则∠2＝∠1＝36°＝∠B，∠ADC＝72°，又C＝∠C，

∴△ABC∽△DAC。

∠ = ，即AC²＝BC·CD。

又∵∠C=∠CDA=72°∠1=∠B=36°。

∴AC=AD=BD。∴BD²=BC·CD。

即D是线段BC的黄金分割点。

    问题5  利用问题4的结论，找出图6五角星图形中所

有的黄金分割点和黄金三角形。

图6中有五个黄金分割点P、Q、R、M、N和20个黄金三角形。

可见，五角星那样美观大方令人心悦神怡，这显然与五角星形的多重黄金分割点有着密切的联系．

来源于实际生活的黄金分割原理，如今已越来越多地被人们认识，并被人们所利用．

古希腊帕提侬神庙由于高和宽的比是0.618，成了举世闻名的完美建筑(投影或挂图)。

画家按0.618：1来设讦腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，因此占希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都体现了其腿长与其身长的比值为0．618(塑象或投影展示)。

在设计工艺品或日用品的长和宽时，常设计成宽与长的比近似为o．618，这样易引起美感(实习作业一中的矩形片)。

拍照时，常把主要景物放在画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目(投影)。

    舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方(教师即席表演)。

    芭蕾舞演员在舞台上翩翩起舞时，不时地踮起脚尖，使腿长与身长之比为o．618，创造赏心悦目的艺术效果(教师即兴演示)。

    优选法中的“0.618法”是黄金分割的重要应用，它给工农业生产带来了巨大的经济效益……。

    5．小结。

在学生交流，谈收获、感受的基础上，教师指出，通过对现实生活的观察和思考，发现了比值0.618，并探索出了隐藏于其内的数学原理——黄金分割原理。体验了数学知识的发现、发展、应用的过程，表明了数学知识来源于实际，反过来又为实际服务的道理，坚定了我们学好数学的信心。

6．布置作业：从黄金三角形出发，作一五角里

教学设计说明

黄金分割是在学生学习了线段的比、比例线段、相似三角形的知识之后，为了复习巩固课内知识，扩大知识面，开阔视野，激发学生学科学、用科学的热情，利用课外活动时间，给学生上的一堂数学活动课．教学设计力求形成“问题情景——建立模型——理论释意——心用与拓展”的模式，使学生通过对黄金分割这一几何中的著名问题的探索，进行将实际问题数学化的训练。