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一、教学目标

1、通过观察，发现图形特点，从而探索点阵中的规律。

2、通过本活动的教学，培养学生归纳、概括能力。

3、通过本活动的教学，增强学生的审美观念，培养学生的审美能力。

二、教材分析

“点阵中的规律”这一内容是《标准》中的数形结合思想在教材中的具体体现。通过这一内容的学习，旨在培养学生的观察能力、想象能力、归纳概括能力。教材是通过实心方阵来探索点阵中的规律的。

首先，教材中呈现了一组实心方阵，点阵中的四个图形均是正方形（第一个图形除外）。第一个图形是一个点，第二个图形可以看成每边有2个点组成的实心正方形，第三个图形可以看成每边有3个点组成的实心正方形，第四个图形可以看成每边有4个点组成的实心正方形，……。

然后，要求学生用计算的方法写出点阵中的点的个数。学生可以根据正方形面积的计算方法求出每个点阵中点的个数。第1个点阵中点的个数是1×1＝1（个）；第2个点阵中点的个数是2×2＝4（个）；第3个点阵中点的个数是3×3＝9（个）；第4个点阵中点的个数是4×4＝16（个）……，进而推出第n个点阵中点的个数是n×n。

接下来提出第5个点阵中有多少个点，并要求画出此图形。学生可根据前面探索的每个点阵中点的个数的规律，类推出第5个点阵中点的个数是5×5＝25（个），并容易画出一个每边有5个点的5层实心方阵。

教材中安排的第三个教学环节是要求把第5个点阵中的点重新划分，看看有什么发现。安排这一教学环节的目的是寻求多种解决问题的方法，培养学生的求异思维能力。

三、    学校及学生状况分析

东北师范大学附属小学是全国唯一一所开放式小学，这里有开放式的空间、开放式的教师、开放式的学生，是一所走在课改前沿的学校。学生的综合素质比较高，思维活跃。尤其是对诸如“点阵中的规律”这类的探索性问题，学生的学兴趣特别高涨。

四、    课堂实录

（一）      导入

师：（教师在黑板上用粉笔画出一个点）同学们，老师在黑板上画的是什么？

生：老师在黑板上画的是一个点。

师：点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以构成一个点阵，今天，我们就来研究“点阵中的规律”问题（板书课题——点阵中的规律）。

（二）      新课

1、出示点阵，提出问题

师：二千多年前，希腊数学家们已经利用图形来研究数（出示点阵），这就是一组点阵，请大家仔细观察，并思考下面的几个问题：

⑴每个点阵可以看成什么图形？

⑵每个点阵分别有多少个点？你是怎样想的？

（学生小组内讨论交流）

师：谁愿意代表你们小组回答第一个问题？

生：每个点阵都可以看成一个正方形。

师：能具体说一说吗？

生：第一个点阵可以看成边长是1的正方形，第二个点阵可以看成边长是2的正方形，第三个点阵可以看成边长是3的正方形，第四个点阵可以看成边长是4的正方形。

师：很好。还有谁愿意回答第二个问题？

生：第一个点阵有1个点，第二个点阵有4个点，第三个点阵有9个点，第四个点阵有16个点。

师：你能说一说你们小组是怎么得到每个点阵中点的个数的吗？

生：我们小组是通过数出每个点阵中点的个数得到的。

师：有谁还愿意谈一谈你们小组讨论的情况？

生：我们小组也认为第一个点阵有1个点，第二个点阵有4个点，第三个点阵有9个点，第四个点阵有16个点。但是我们小组是通过计算得到的。

师：能具体说一说你们小组是怎样通过计算得到的吗？

生：第一个点阵有1个点；第二个点阵可以看成边长是2的正方形，共有2×2＝4个点；第三个点阵可以看成边长是3的正方形，共有3×3＝9个点；第4个点阵可以看成边长是4的正方形，共有4×4＝16个点。

2、探索点阵中的规律

师：刚才，我们在研究这一组点阵中点的个数时，同学们研究得非常好，但是如果每个点阵中点的个数再多一些，又该怎样求出点阵中点的个数呢？

（小组讨论、交流）

师：哪个小组来汇报讨论的情况？

生：我们小组分析了前面几个点阵图的特点，认为在黑板上这点阵图中，点的个数的规律是：1×1，2×2，3×3，4×4，……n×n

师：总结得非常好。你们能根据这一规律说出第五个点阵有多少个点，并画出此图形吗？

（一名学生在黑板上画第五个点阵图）

师：为什么这样画？

生：因为前面四个都可以看作正方形，所以第五个图也是正方形。

师：说得很好。请同学们再想一想，如果我们把第5个点阵中的点，按照这样的方法进行划分（出示教材第82页第（3）题图），看看你有什么发现？

生：（小组内讨论交流）

生：小组代表汇报。

生：（总结）每用折线画一次后，点阵中的个数是：

1＝1

1＋3＝4

1＋3＋5＝9

1＋3＋5＋7＝16

………………

生：（总结）这样划分后，点阵中的规律是：1，1＋3，1＋3＋5，1＋3＋5＋7，……1＋3＋3＋7＋……＋（2n－1）

五、    教学反思

“点阵中的规律“这一教学活动是在教师的引导下，学生通过自主探索、合作交流，发现图形中点的变化情况，进而推导出后续图形点的数量。反思本节课的教学，我认为有以下两点值得与同行们交流：

一是为学生搭建探索问题的平台，鼓励学生探索和交流。从课堂教学实录中我们可以看到，在探索“点阵中的规律”活动时，当学生明确任务后，学生有能力自主地进行探索。从本节课的课堂实录中我们可以看到，点阵中的规律，是由学生通过观察、想象、猜测，自己归纳、总结出来的。为此，在实际教学中，每一位教师都应不遗余力地为学生搭建探索问题的平台，并鼓励学生能够积极探索和交流。

二是积极渗透多角度思考问题的策略。由于学生的生活背景、数学知识、能力和思考问题的角度不同，在探索数学问题时，必然会出现多种不同的思考方法。如，在探索点阵中的规律时，并没有局限于“1×1，2×2，3×3，4×4，……n×n”的求正方形方法，而是在学生理解后，立即又引导学生探索另外一种解决问题的方法：1，1＋3，1＋3＋5，1＋3＋5＋7，……1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）。而正是这种多角度的思考方法，才能使解决问题的策略多样化。教师应当鼓励学生从多角度思考问题、解决问题方法的多样化，并以此作为一种长期渗透的教学策略。

六、    案例点评

本节教学实录体现了如下特点：

1．从问题出发，引导探究。上课伊始，教师就提出来了两个问题：⑴每个点阵可以看成什么图形？⑵每个点阵分别有多少个点？你是怎样想的？让学生在独立观察的基础上小组讨论，寻找规律。这或许是新的数学课堂中的一种普遍的教学方式。问题是探索的基础，这样的教学方式值得肯定。

2、鼓励学生用自己的思考方式发现规律，在探究过程中，学生们能够根据自己的观察与思考寻找到其中的点阵规律，虽然，在“1×1，2×2，3×3，4×4，……n×n”的方法与“1，1＋3，……，1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）”的方法思考方式不同，但对学生而言，都是他们自主探索的结果。因此，教师在教学中充分肯定不同学生的探索成果，体现尊重学生个性发展的教学理念。

3、教师在教学设计中充分体现了“数形结合”的思想，例如，学生在找规律的过程中把点阵中点子的数量与正方形的面积计算联系起来，这种联想，对于找到解决问题的突破口是非常有利的。因此，在教学中有意识地渗透这种思想，对提高学生解决问题的能力有较大的帮助。

点评人：何凤波（吉林省教育学院）